By Uwe Hassler

Stochastische Integralrechnung und Zeitreihenmodellierung haben in den letzten Jahren große Bedeutung in der Wirtschaftswissenschaft erlangt. Zum einen spielen sie eine entscheidende Rolle bei der Modellierung von Finanzmärkten (Lösen stochastischer Differentialgleichungen), zum anderen basiert quickly die gesamte statistische Inferenz instationärer Zeitreihen darauf (Kointegration). Der Leser erhält hier eine Einführung mit Hinblick auf beide Gebiete und lernt so die modernen Methoden der mathematischen Finanzierungstheorie sowie der Zeitreihenökonometrie kennen.

Die Einführung ist elementar und rigoros zugleich. Der eigentliche textual content enthält kaum mathematische Ableitungen, sondern stellt die Konzepte und Techniken eher anschaulich vor, illustriert anhand von Beispielen. Am Ende jeden Kapitels aber finden sich insgesamt über a hundred Probleme und Übungsaufgaben samt kompletter Lösung, welche technische information und Beweise enthalten und so ein hohes formales Niveau garantieren.

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9) Indem man f¨ ur xt−1 diese Definitionsgleichung substituiert, erh¨alt man: xt = ν + a( ν + a xt−2 + εt−1 ) + εt = ν + a ν + a2 xt−2 + a εt−1 + εt . Damit erweisen sich xt und xt−2 als korreliert. Fortgesetzte Substitution ergibt wie oben xt = ν + a ν + a2 ν + a3 xt−3 + a2 εt−2 + a εt−1 + εt oder f¨ ur h ≥ 0: xt = (1 + a + . . + ah−1 ) ν + ah xt−h + ah−1 εt−h+1 + . . + a εt−1 + εt . Unterstellen wir jetzt, dass die Indexmenge T nicht etwa nach unten durch 0 begrenzt ist, sondern unendlich weit in die Vergangenheit zur¨ uckreicht, so kann h beliebig groß werden, und es l¨ asst sich die Substitution ad infinitum wiederholen.

In der Regel fasst man γ2 als Maß f¨ H¨ aufig wird die Normalverteilung als Referenz genommen. F¨ ur jede normalverteilte Zufallsvariable gilt, dass ihre Kurtosis den Wert 3 hat. Man kann u ¨berdies zeigen, dass immer gilt: γ2 ≥ 1. 1. Bsp. 3 (Kurtosis stetiger Gleichverteilung) Die Zufallsvariable X sei gleichverteilt auf [0, b] mit der Dichte 3 4 Ein Beispiel hierf¨ ur ist die Cauchy-Verteilung, d. h. die t-Verteilung mit einem Freiheitsgrad. 2. Unter σ wird dann die Quadratwurzel von Var(X) mit positivem Vorzeichen verstanden.

Bedingte Erwartung Sind die Zufallsvariablen X und Y nicht unabh¨angig und ist die Realisation von Y bekannt, Y = y, so wird dies die Erwartung u ¨ber X ver¨andern: ∞ E(X|Y = y) = −∞ xfx|y (x)dx. Analog definieren wir als bedingten Erwartungswert einer Zufallsvariablen Z, Z = h(X, Y ), h : R2 → R, gegeben Y = y: E(Z|Y = y) = E (h(X, Y ) | Y = y) ∞ = −∞ h(X, y)fx|y (x) dx. Speziell f¨ ur h(X, Y ) = X g(Y ) mit g : R → R erh¨alt man so E(X g(Y ) | Y = y) = g(y) ∞ −∞ xfx|y (x) dx = g(y) E(X|Y = y).

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