By Walter Borho, Peter Gabriel, Rudolf Rentschler

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N ein homogener Homomorphismus vom Grad d: Dann kann f auch aufgefa t werden als homogener Homomorphismus vom Grad 0 : M ! N d] oder M d] ! N Beispiel. Sei M ein graduierter A-Modul und a 2 Ad : Dannaist die Multiplikation a M d]: mit dem Element a ein graduierter Homomorphismus M d] ! M oder M ! Exaktheit. Kern und Bild eines graduierten Homomorphismus sind graduierte Untermoduln. Sei M f! N g! P eine Folge graduierter Homomorphismen von A-Moduln. P exakt sind. Sei nun der graduierte Ring A noethersch.

Sei N = T q M: Dann gilt fur die induzirte Filtrierung (N ) auf N N = N \ qn M = N Da diese Filtrierung aber q-gut ist folgt: qN = N: Nach dem Lemma von Nakayama folgt N = 0: Fur eine beliebigeTq-gute Filtrierung (M ) von M gilt Mn+n = qn Mn qn M 8n 0: Es folgt n Mn = 0 Im folgenden sei q ein Ideal des Ringes A und (M ) eine q-gute Filtrierung des Moduls M: De nition. Der assozierte graduierte Ring zur q- adischen Filtrierung bzw. der assozierte graduierte Modul zu einem ltrierten Modul. Sei F = (M ) die Filtrierung von M: Sei 0 0 grq(A) = A=q q=q2 q2 =q3 : : : grF (M ) = M0=M1 M1 =M2 M2=M3 : : : Dann ist grq(A) auf naturliche Weise ein graduierter Ring und grF (M ) auf naturliche Weise ein graduierter grq(A)-Modul.

M ! I0 ! I1 ! In ! K ! 0 mit injektiven Moduln I gegeben. Durch injektives Au osen von K erhalt man daraus eine injektive Au osung von M . Diese exakte Folge kann in kurze exakte Folgen zerlegt werden: 0 ! M ! I 0 ! B1 ! 0 0 ! B1 ! I 1 ! B2 ! 0 .. B i ist das Bild von I i 1 Uberlegung erhalt man: 0 ! B n ! I n ! K ! 4 Sei M 6= 0 ein A-Modul,n > 0: Folgende Aussagen sind aquivalent: (1) dihA < n (2) ExtiA (X; M ) = 0 (3) ExtnA (X; M ) = 0 8i n 8 A Moduln X 8 endlichen A Moduln X (4) Fur jede exakte Folge 0 !