By Oliver Baues

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Es sei U0 ⊆ g eine Exponentialkoordinatenumgebung von 0 ∈ g. Dann ist VIn = exp(U0 ) eine Umgebung der Einheitsmatrix In ∈ G, so dass exp : U0 → VIn ein Homoomorphismus ¨ mit Umkehrabbildung log : VIn → U0 ist. 69 werden noch einige Informationen uber ¨ das Differential der Exponentialfunktion exp : g → G benotigt. ¨ ¨ Der Ubersichtlichkeit wegen schreiben wir im Folgenden Exp := expGL(g) : gl(g) → GL(g) fur ¨ die Exponentialabbildung von Matrizen. 65 Es seien X, Y ∈ g. 1. Es ist d exptX X = X · exp(tX) (∈ Texp(tX) G g).

Also ist A1 · V ∩ A2 · V = ∅. Damit ist H hausdorffsch in der Lie-Gruppentopologie. Dass H lokalkompakt ist, folgt aus Teil 3. 2. Zeige die Stetigkeit von exp in einer Umgebung U0 von 0 ∈ h: Sei V = A exp(U) fur ¨ A ∈ H und eine BCH-Umgebung U. Dann ist V eine offene Umgebung von A ∈ H. Fur ¨ X ∈ U0 mit A = exp(X) kommutiert das folgende Diagramm: exp(U) LA / O VO exp exp U ∗X / X∗U Dabei ist ∗X : U0 → h, Y → X ∗ Y und X ∗ U = exp−1 (V). Zu zeigen ist nun, dass X ∗ U eine offene Menge ist. 69 gilt: 1 ∗X (Y) = X ∗ Y = X + 0 Ψ(Exp(adX ) ◦ Exp(t · adY ))(Y)dt.

Es gibt ein v ∈ V\{0}, so dass ϕ(v) = 0 ist fur ¨ alle ϕ ∈ g. 2. Es gibt eine Fahne F von V, so dass g ⊆ N(F ) gilt. Insbesondere ist g nilpotent. 18) 1. Induktion uber ¨ dim(g). Induktionsanfang: dim(g) = 1: klar. Induktionsannahme: Die Behauptung 1. gelte fur ¨ Lie-Algebren h mit dim(h) < dim(g). Induktionsschluss: Wir zeigen zuerst, dass es ein Ideal h der Kodimension 1 in g gibt: Dafur ¨ sei h ⊂ g, h g, eine (bzgl. Inklusion) maximale Unteralgebra. Dann ist h ein Ideal der Kodimension 1, denn: Da dim(g) > 1, ist h {0}.

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