By Friedrich Schmid

Dieses Buch gibt eine Einführung in die wichtigsten Verfahren der statistischen examine von Finanzmarktdaten wie beispielsweise Kursen oder Renditen von Aktien oder Aktienindizes. Unter den Themen sind die Deskription und examine von uni- und multivariaten Renditeverteilungen, die examine der Struktur von Renditezeitreihen sowie statistische Verfahren für das CAPM und die Untersuchung der stochastischen Dominanz. Das Buch richtet sich an Studierende der Wirtschaftswissenschaften im Hauptstudium, aber auch an Praktiker in Banken und Versicherungen. Es ist sehr intestine zum Selbststudium geeignet. Kenntnisse der Mathematik und Statistik werden nur soweit vorausgesetzt, wie sie im wirtschaftswissenschaftlichen Grundstudium vermittelt werden.

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XT ) = max L(θ|x1 , . . , xT ), L(θ|x θ∈Θ wobei wir die Existenz und Eindeutigkeit des Maximums in Θ stillschweiˆ ist es oft günstiger, gend voraussetzen. Zur numerischen Bestimmung von θ die logarithmierte Likelihood-Funktion ln L(θ|x1 , . . , xT ) zu maximieren. Ist ˆ im Inneren ln L(θ|x1 , . . , xT ) im Inneren von Θ differenzierbar und liegt θ von Θ, so wird man ˆ θ durch Lösen des Gleichungssystems ∂ ln L (θ|x1 , . . , xT ) = 0, ∂θ1 .. ∂ ln L(θ|x1 , . . , xT ) = 0 ∂θr bestimmen. Eine einfache Anwendung wird im folgenden Abschnitt vorgestellt.

K ), σ 2 = (σ21 , . . , σ 2K ) und π = (π 1 , . . , π K ) mit µj ∈ R, σ j > 0 und π j > 0 für j = 1, . . , K und K j=1 π j = 1. Die Anzahl der Parameter wird also sehr schnell groß. Schon für K = 2 ergeben sich 5 Parameter. Eine Mischung aus Normalverteilungen besitzt alle Momente; diese lassen sich durch die 3K − 1 Parameter zum Ausdruck bringen. So gilt für den Erwartungswert von X K µ= πk µk . k=1 Für die Varianz gilt K σ2 = K π k σ 2k + k=1 π k (µk − µ)2 , k=1 d. h. die Gesamtvarianz von X setzt sich aus der internen und der externen Varianz zusammen.

In diesem Fall ist der Wert der Likelihoodfunktion die gemeinsame Dichte von X1 , . . , XT an der Stelle x1 , . . , xT , aufgefasst als Funktion von θ. Da wir vorausgesetzt haben, dass X1 , . . , XT eine einfache Stichprobe aus X ist, sind die Xt unabhängig. Es gilt also T f (xt ||θ) L(θ|x1 , . . , xT ) = t=1 2 Durch den Doppelstrich soll verdeutlicht werden, dass es sich bei θ um einen Parametervektor (und nicht um gewöhnliche Funktionsargumente) handelt. 3 Parametrische Verteilungsmodelle 43 Der zweite Schritt besteht darin, die Likelihood-Funktion zu maximieren.

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