By Gernot Stroth

Dieses Buch behandelt die Grundlagen der Algebra und der elementaren Zahlentheorie. Zentrale Begriffe sind Primelemente und irreduzible Elemente. Ausgehend vom Aufbau einer Arithmetik in Hauptidealringen und insbesondere euklidischen Ringen sind die zentralen Themen zum einen irreduzible Polynome, zum anderen Primzahlen. Dies führt zu den algebraischen Körpererweiterungen und zu Fragen nach der Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Nach einem längeren Ausflug in die Gruppentheorie bis zum Sylow-Satz und den auflösbaren Gruppen wird die Idee der Galoistheorie exemplarisch an der Frage der Auflösbarkeit von Polynomgleichungen behandelt. Zentrale Begriffe der Zahlentheorie sind die Primzahlen. Behandelt werden die Verteilung von Primzahlen, Primzahlformeln, Carmichaelzahlen, Kongruenzen, der Chinesische Restsatz und quadratische Reste bis hin zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.

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Algebra. Rings, modules and categories

VI of Oregon lectures in 1962, Bass gave simplified proofs of a couple of "Morita Theorems", incorporating principles of Chase and Schanuel. one of many Morita theorems characterizes while there's an equivalence of different types mod-A R::! mod-B for 2 earrings A and B. Morita's answer organizes principles so successfully that the classical Wedderburn-Artin theorem is a straightforward outcome, and in addition, a similarity classification [AJ within the Brauer workforce Br(k) of Azumaya algebras over a commutative ring okay comprises all algebras B such that the corresponding different types mod-A and mod-B including k-linear morphisms are an identical through a k-linear functor.

Matrix Partial Orders, Shorted Operators and Applications (Series in Algebra)

The current monograph on matrix partial orders, the 1st in this subject, makes a distinct presentation of many partial orders on matrices that experience involved mathematicians for his or her good looks and utilized scientists for his or her wide-ranging software capability. with the exception of the Löwner order, the partial orders thought of are really new and got here into being within the overdue Nineteen Seventies.

Geometry and Algebra in Ancient Civilizations

Initially, my goal used to be to put in writing a "History of Algebra", in or 3 volumes. In getting ready the 1st quantity I observed that during old civiliza­ tions geometry and algebra can't good be separated: increasingly more sec­ tions on old geometry have been extra. for this reason the hot name of the e-book: "Geometry and Algebra in historic Civilizations".

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Dann ist t = grad mu2 ≤ n. Genauso wie eben folgt, dass {1, . . , ut−1 2 } eine k2 -Basis von i k2 (u2 ) ist. Sei also v = t−1 i=0 di u2 ∈ k2 (u2 ) ein beliebiges Element. Wähle ci ∈ k1 mit i (ci ) = di . Dann ist v = ( t−1 i=0 ci u1 ). Also ist ein Epimorphismus. Die Eindeutigkeit von ist klar. 11 erhalten wir den folgenden Satz: Seien k ein Körper und q ∈ k[x] ein irreduzibles Polynom. Dann gibt es einen bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten Erweiterungskörper K von k der Form K = k(a), wobei q(a) = 0 gilt.

Da K ein k-Vektorraum der Dimension n ist, sind 1, a, a2 , . . , an linear abhängig. Also gibt es geeignete ai ∈ k nicht alle gleich Null, so dass gilt: n ai ai = 0. i=0 Setze nun n ai xi ∈ k[x]. p= i=0 Dann ist p = 0 und p(a) = 0. Somit ist a algebraisch über k. Der nächste Satz beschreibt die Struktur von Körpern der Form k(a). 5 Seien k, K Körper mit K = k(a) für ein a ∈ K. Ist a transzendent über k, so ist K zu dem Quotientenkörper k(x) des Polynomrings k[x] isomorph. Weiter ist [K: k] = ∞.

21c) enthält k einen zu Q isomorphen Teilkörper, also ist k ∼ = Q. b) Sei nun die Charakteristik von K endlich. Setze K1 = {0, 1, . . , p − 1} ⊆ k, wobei hier i für 1 + · · · + 1 steht. Sei i = j in K1 mit 0 ≤ i ≤ j ≤ p − 1. Dann ist i−mal j − i = 0. Da char K = p ist, ist dann j = i in Z. Also ist |K1 | = p. Sei nun 0 = x ∈ K1 . Dann ist ggT (x, p) = 1 in Z. 16 gibt es a, b ∈ Z mit ax + bp = 1. Sei a = a˜ + kp mit 0 ≤ a˜ ≤ p − 1. Dann ist 1 = a˜ x + (b + kx)p. Also können wir a ∈ K1 annehmen.

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