By Christian Karpfinger

Dieses Buch erleichtert Ihnen den Einstieg in das eigenständige Lösen von Aufgaben zur Algebra, indem es Ihnen nicht einfach nur Aufgaben mit Lösungen, sondern vor allem auch Hinweise zur Lösungsfindung und ausführliche Motivationen bietet.

Damit ist das Werk perfect geeignet zur Prüfungsvorbereitung, wenn Sie ein tieferes Verständnis der Algebra entwickeln wollen oder wenn Sie sich gerne an kniffligen Aufgaben einer faszinierenden mathematischen Disziplin versuchen.

In den mehr als three hundred Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade durchleuchten wir die grundlegenden algebraischen Strukturen Gruppen, Ringe und Körper, wie sie typischerweise in einer Anfängervorlesung für Mathematikstudierende behandelt werden.

Vielfach berufen wir uns in den Lösungen auf Sätze, Lemmata und Korollare des Buches Algebra, Gruppen –Ringe – Körper von Ch. Karpfinger und okay. Meyberg.

Der Autor

PD Dr. Christian Karpfinger lehrt an der Technischen Universität München; 2004 erhielt er den Landeslehrpreis des Freistaates Bayern.

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Algebra. Rings, modules and categories

VI of Oregon lectures in 1962, Bass gave simplified proofs of a few "Morita Theorems", incorporating principles of Chase and Schanuel. one of many Morita theorems characterizes whilst there's an equivalence of different types mod-A R::! mod-B for 2 earrings A and B. Morita's answer organizes principles so successfully that the classical Wedderburn-Artin theorem is a straightforward end result, and additionally, a similarity classification [AJ within the Brauer crew Br(k) of Azumaya algebras over a commutative ring ok involves all algebras B such that the corresponding different types mod-A and mod-B which include k-linear morphisms are identical via a k-linear functor.

Matrix Partial Orders, Shorted Operators and Applications (Series in Algebra)

The current monograph on matrix partial orders, the 1st in this subject, makes a distinct presentation of many partial orders on matrices that experience involved mathematicians for his or her attractiveness and utilized scientists for his or her wide-ranging program capability. aside from the Löwner order, the partial orders thought of are rather new and got here into being within the past due Nineteen Seventies.

Geometry and Algebra in Ancient Civilizations

Initially, my goal was once to write down a "History of Algebra", in or 3 volumes. In getting ready the 1st quantity I observed that during historic civiliza­ tions geometry and algebra can't good be separated: a growing number of sec­ tions on historical geometry have been additional. therefore the recent name of the publication: "Geometry and Algebra in historical Civilizations".

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Example text

Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2015 C. d /, wobei über alle Teiler d 2 N von n summiert wird. U / aller erzeugenden Elemente von U . (b) Eine endliche Gruppe G der Ordnung n ist genau dann zyklisch, wenn es zu jedem Teiler d von n höchstens eine zyklische Untergruppe der Ordnung d von G gibt. 1 Es sei U eine Untergruppe von G. Im Fall U D feg ist U zyklisch, U D hei. Daher kümmern wir uns nun um den Fall U 6D feg. Es sei n die kleinste natürliche Zahl mit e 6D an 2 U . Ein solches n existiert auch in der Tat.

7 (Algebrabuch). Es sind fIdg, U1 WD h 2 i D fId; 2 g, U2 WD h 4 i D fId; 4 g, U3 WD h 5 i D fId; N WD h 1 i D fId; 1 ; 3 g und S3 alle Untergruppen der symmetrischen Gruppe S3 . 5 g, Da triviale Untergruppen stets Normalteiler sind, sind fIdg und S3 Normalteiler in S3 . 2 (Algebrabuch), da N den Index 2 in S3 hat. 2, in der gezeigt wurde, dass bei diesen Untergruppen jeweils Linksnebenklassen existieren, die keine Rechtsnebenklassen sind, sprich: Diese Untergruppen sind keine Normalteiler. Die symmetrische Gruppe S4 der Ordnung 24 besitzt 30 verschiedene Untergruppen.

U / Ä U ˝N . U / D U (man beachte die Teilerfremdheit der Ordnungen von U und N ). N / D N . Wir erhalten eine Abbildung ( ˚W Aut G ' ! Aut U 7! 'jU ; 'jN / Die Abbildung ˚ ist offenbar ein Homomorphismus. IdU ; IdN / nur für ' D IdG möglich ist. Außerdem ist ˚ surjektiv, da für U 2 Aut U und N 2 Aut N die Abbildung ( W U ˝N ! uv 7! v/ ein Automorphismus von G D U ˝ N ist. Es folgt Aut G Š Aut U Aut N . 6 In Abschn. 2 (Algebrabuch) haben wir ausführlich das Vorgehen zur Lösungsfindung eines solchen Kongruenzgleichungssystems beschrieben: Es ist L D k C r Z die gesuchte Lösungsmenge, wobei r D r1 r2 r3 und k D k1 s1 a1 C k2 s2 a2 C k3 s3 a3 mit den wie folgt gegebenen Zutaten gegeben sind: r1 D 11, r2 D 5, r3 D 21 a1 D 7, a2 D 1, a3 D 18.

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